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广东公务员考试行测指导：方阵问题
http://www.gdgwyw.com 2014-10-15 来源：广东公务员考试网
一、考情分析
通过近几年的省考来看，方阵问题虽然并不像行程问题、利润问题那样年年都会考查。但是作为公务员考试的一个常考知识点，大家还是应该对其引起重视，尤其近两年常会碰到的方阵的转换及变形，以及空心方阵问题都有一定难度，需要大家熟记方阵问题的公式。
二、基础知识
1.题型简介
方阵问题是数学运算中一类常见的数学问题，是许多人或物按一定的条件排成正方形（简称方阵），再根据排成的方阵，找出规律，寻求解决问题的方案。
2.概念区分
行：排队时，横着排叫做行。
列：排队时，竖着排叫做列。
实心方阵：中心区域没有空缺，叫实心方阵。
如图1是实心方阵。
偶数型实心方阵：如图3方阵每行每列都为偶数，叫偶数型实心方阵，其几何中心不存在元素，其中心区域由4个元素构成。
3.方阵问题的基本概念
（1）方阵不管在哪一层，每边人的数量都相同，每向里面一层，每边的数就减少2。
（2）方阵每相邻两层之间的总人数都相差8。
4.解题思路
在解决方阵问题时，首先应该准确判断方阵的类型，要搞清方阵中的一些量（如层数、最外层人数、最里层人数、总人数）之间的关系。解题时要开动脑筋，运用相关公式，用多种方法来解题。
三、方阵问题考点精讲
（一）实心方阵
（1）方阵总人数=方阵最外层每边人数的平方
（2）方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4
（3）方阵每层每边人数=（方阵每层总人数+4）÷4
（4）奇数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数-1
偶数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数
例题1：在一次阅兵式上，某军排成了30人一行的正方形方阵接受检阅。最外两层共有多少人？
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案详解】根据题意可知，阅兵方阵为实心方阵。
最外层每边30人，则最外层总人数为30×4-4=116人；
根据相邻两层相差为8人可知，次外层总人数为116-8=108人；
最外两层共有116＋108=224人。
提示：（1）在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数=原来每行人数×2-1；
（2）在方阵中若去掉二行二列，去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。
（二）空心方阵
根据“相邻两层的人数相差为 8”，即以方阵最外层人数为首项，依次向里，组成一个公差为-8 的等差数列，利用等差数列求和公式可得：
方阵总人数=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数÷2×8=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数×4
方阵总人数=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数÷2×8=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数×4
公式不需要直接记忆，只要记住每一层的人数能够组成一个公差为-8的等差数列就可以了。
例题2：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数是：
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案详解】方法一，根据“相邻两层人数相差为8”，结合“外层人数共有60人，中间一层共44人”，可知这个方阵从外到内每层人数依次是60、52、44、36、28，所以该方阵士兵的总人数是60+52+44+36+28=220人。
方法二，最外层到中间一层相差（60-44）÷8=2层，即中间一层是第3层，一共有5层，则总人数是5×44=220人。
（三）方阵人数增减
例题3：体育课学生排成一个方阵，最外层的人数为60人，如要在方阵最外层增加一层，则增加后最外层每边有多少人？
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案详解】增加前最外层人数为60人，则最外边每边人数为（60+4）÷4=16，增加一层后最外层每边人数为16+2=18人。
（四）方阵重排
例题4：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8。如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人？
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案详解】空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8×8×2=128人。
丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。这两层的人数即实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为（128+8）÷2=68人，则丙方阵最外层每边人数为（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260人。
（五）方阵问题与其他问题相结合
例题5：某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行从左至右１，２，１，２，１，２，１，２报数，再各列从前到后１，２，３，１，２，３报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有：
A.18个 B.24个 C.32个 D.36个
【答案详解】此题可画出直观图进行解答。当从左至右报1时，从前至后报2的有8人，报3的也有8人；当从左至右报2时，同理可得，从前至后报1的有8人，报3的也有8人，即所报数字不同的战士有32人。故选C。
四、核心要点
1.方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2.方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2
通过近几年的省考来看，方阵问题虽然并不像行程问题、利润问题那样年年都会考查。但是作为公务员考试的一个常考知识点，大家还是应该对其引起重视，尤其近两年常会碰到的方阵的转换及变形，以及空心方阵问题都有一定难度，需要大家熟记方阵问题的公式。
二、基础知识
1.题型简介
方阵问题是数学运算中一类常见的数学问题，是许多人或物按一定的条件排成正方形（简称方阵），再根据排成的方阵，找出规律，寻求解决问题的方案。
2.概念区分
行：排队时，横着排叫做行。
列：排队时，竖着排叫做列。
实心方阵：中心区域没有空缺，叫实心方阵。
如图1是实心方阵。
奇数型实心方阵：如图2方阵每行每列都为奇数，叫奇数型实心方阵，其几何中心恰好存在一个元素。
偶数型实心方阵：如图3方阵每行每列都为偶数，叫偶数型实心方阵，其几何中心不存在元素，其中心区域由4个元素构成。
空心方阵：中心区域有空缺，叫空心方阵。
如图4是一层的空心方阵，图5是二层的空心方阵。
3.方阵问题的基本概念
（1）方阵不管在哪一层，每边人的数量都相同，每向里面一层，每边的数就减少2。
（2）方阵每相邻两层之间的总人数都相差8。
4.解题思路
在解决方阵问题时，首先应该准确判断方阵的类型，要搞清方阵中的一些量（如层数、最外层人数、最里层人数、总人数）之间的关系。解题时要开动脑筋，运用相关公式，用多种方法来解题。
三、方阵问题考点精讲
（一）实心方阵
（1）方阵总人数=方阵最外层每边人数的平方
（2）方阵每层总人数=方阵每层每边人数×4-4
（3）方阵每层每边人数=（方阵每层总人数+4）÷4
（4）奇数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数-1
偶数型实心方阵的最外层每边人数=2×层数
例题1：在一次阅兵式上，某军排成了30人一行的正方形方阵接受检阅。最外两层共有多少人？
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案详解】根据题意可知，阅兵方阵为实心方阵。
最外层每边30人，则最外层总人数为30×4-4=116人；
根据相邻两层相差为8人可知，次外层总人数为116-8=108人；
最外两层共有116＋108=224人。
提示：（1）在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数=原来每行人数×2-1；
（2）在方阵中若去掉二行二列，去掉的人数=原来每行人数×4-2×2。
（二）空心方阵
根据“相邻两层的人数相差为 8”，即以方阵最外层人数为首项，依次向里，组成一个公差为-8 的等差数列，利用等差数列求和公式可得：
方阵总人数=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数÷2×8=层数×最外层总人数-（层数-1）×层数×4
方阵总人数=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数÷2×8=层数×最内层总人数+（层数-1）×层数×4
公式不需要直接记忆，只要记住每一层的人数能够组成一个公差为-8的等差数列就可以了。
例题2：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数是：
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案详解】方法一，根据“相邻两层人数相差为8”，结合“外层人数共有60人，中间一层共44人”，可知这个方阵从外到内每层人数依次是60、52、44、36、28，所以该方阵士兵的总人数是60+52+44+36+28=220人。
方法二，最外层到中间一层相差（60-44）÷8=2层，即中间一层是第3层，一共有5层，则总人数是5×44=220人。
（三）方阵人数增减
例题3：体育课学生排成一个方阵，最外层的人数为60人，如要在方阵最外层增加一层，则增加后最外层每边有多少人？
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案详解】增加前最外层人数为60人，则最外边每边人数为（60+4）÷4=16，增加一层后最外层每边人数为16+2=18人。
（四）方阵重排
例题4：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8。如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人？
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案详解】空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2×甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8×8×2=128人。
丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4×4=16人，即多了16÷8=2层。这两层的人数即实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为（128+8）÷2=68人，则丙方阵最外层每边人数为（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260人。
（五）方阵问题与其他问题相结合
例题5：某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行从左至右１，２，１，２，１，２，１，２报数，再各列从前到后１，２，３，１，２，３报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有：
A.18个 B.24个 C.32个 D.36个
【答案详解】此题可画出直观图进行解答。当从左至右报1时，从前至后报2的有8人，报3的也有8人；当从左至右报2时，同理可得，从前至后报1的有8人，报3的也有8人，即所报数字不同的战士有32人。故选C。
四、核心要点
1.方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2.方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4.去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
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