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2012年行测指导:数学运算16种题型之数的分解与拆分
http://www.gdgwyw.com       2011-12-05      来源:广东公务员网
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  数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一,考察对数的基本特性的掌握,通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大,不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用,故掌握方法就变得特别重要。

  1.分解因式型:就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数,还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。

  【例1】三个质数的倒数之和为a/231 ,则a=( )

  A.68 B.83 C.95 D.131

  【解析】将231分解质因数得231=3×7×11,则 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ,故a=131。

  【例2】 四个连续的自然数的积为3024,它们的和为( )

  A.26 B.52 C.30 D.28

  【解析】分解质因数:3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9,所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。

  【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因数,自然数n最大可能是多少?

  A 499 B500 C 498 D501

  【解析】20^n=5*2*2的N次方,显然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中,能分解出来的2个个数要远远大于5的个数,所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值,由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。

  注:【】取整数部分。

  2.已知某几个数的和,求积的最大值型:

  基本原理:a2+b2≧2ab,(a,b都大于0,当且仅当a=b时取得等号)推 论:a+b=K(常数),且a,b都大于0,那么ab≦((a+b)/2)2,当且仅当a=b时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。

  【例1】3个自然数之和为14,它们的的乘积的最大值为( )

  A.42 B.84 C.100 D.120

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  若使乘积最大,应把14拆分为5+5+4,则积的最大值为5×5×4=100。也就是说,当不能满足拆分的数相等的情况下,就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小,这样它们的乘积才能最大,这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会.

  【例2】将17拆分成若干个自然数的和,这些自然数的乘积的最大值为( )A.256 B.486 C.556 D.376

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  将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时,其乘积最大,最大值为 ×2=486。

  3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有较深刻的理解,才能达到灵活运用的目的。

  【例1】有多少种方法可以把100表示为(有顺序的)3个自然数之和?( )

  A.4851 B.1000 C.256 D.10000

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  插板法:100可以想象为100个1相加的形式,现在我们要把这100个1分成3份,那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中,任意插入两个板,这样就把它们分成了三个部分。而从99个空任意选出两个空的选法有:C992=99×98/2=4851(种);故选A。

  (注:此题没有考虑0已经划入自然数范畴,如果选项中出现把0考虑进去的选项,建议选择考虑0的那个选项。)

  【例2】 学校准备了1152块正方形彩板,用它们拼成一个长方形,有多少种不同的拼法?

  A.1152 B.384 C.28 D.12

  【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。

  1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36,故有12种不同的拼法。

  解法二:(用排列组合知识求解)

  由1152=27×32,那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分,当分配好时,那么长方形的长和宽也就固定了。

  具体地: 1)当2个3在一起的时候,有8种分配方法(从后面有0个2一直到7个2); 2)当两个3不在一起时,有4种分配方法,分别是一个3后有0,1,2,3个2。故共有8+4=12种。

  解法三:若1152=27×32,那么1152的所有乘积为1152因数的个数为(7+1)×(2+1)=24个,每两个一组,故共有24÷2=12组。

  【例1】将450分拆成若干连续自然数的和,有多少种分拆办法?

  A9   B8  C7  D10

  【解析】整数分拆(严格地讲是自然数分拆)形式多样,解法也很多。

  下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。 那么什么是“中间数”呢?其实这里的“中间数”也就是平均数。有的“中间数”是答数中的一个,如:1、2、3、4、5中的“3”便是;也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的,并不是答数中的一个,如:4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。由此我们可知,奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数,而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数,并且是某个数的一半。

  一、 把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。

  例1、把2000分成25个连续偶数的和,这25个数分别什么?

  分析与解:这道题如果一个一个地试,岂不是很麻烦,我们先求中间数:2000÷25=80,那么80的左边有12个数,右边也有12个数,再加上80本身,正好是25个数,我们又知相邻两个偶数相差2,那么这25个偶数中最小的便为:80—12×2=56,最大的为:80+12×2=104,故所求的这25个数为:56、58、………、80、………、102、104。

  例2、把105分成10个连续自然数的和,这10个自然数分别是多少?

  分析与解:我们仿照例1的办法先求中间数:105÷10=10.5,“10.5”这个数是小数,并不是自然数,很明显“10.5”不是所求的数中的一个,但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个,这样也就是10.5左边有5个数,右边也有5个数,距离10.5最近的分别是10、11,这10个数分别是:6、7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14、15。

  二、 把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。

  例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和,有几种?分别是多少?

  分析与解:我们先把84分解质因数,84=2×2×3×7由分解式可以看出,84的不同质因数有2、3、7,这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和,但是我们必须明确,有的个数是不符合要求的,例如把84分拆成2个连续自然数的和,无论如何是办不到的,那么我们不妨把其分拆为3、7、8(2×2×2)个连续自然数的和。 分拆为3个连续自然数的和:(2×2×3×7)÷3=28 ,确定了“中间数”28,再依据例2的方法确定其它数,所以这三个数是27、28、29。 同理,分拆为7个连续自然数的和:(2×2×3×7)÷7=12 ,它们是9、10、11、12、13、14、15。 分拆为8(2×2×2)个连续自然数的和:(2×2×3×7)÷8=10.5 ,它们是7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14。其它情况均不符合要求。 再将此题引伸一步,怎样判断究竟有几种分拆方式呢?就84而言,它有三种分拆方法,下面我们看84的约数有:1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。其中大于1的奇约数恰有三个。于是可以得此结论:若一个整数(0除外)有n个大于1的奇约数,那么这个整数就有n种分拆成2个或2个以上连续自然数的和的方法。

  450=2*3*3*5*5,大于1的奇约数为3,5,9,15,25,45,75,225一共8个,则共有8种拆分方法。

 

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